Question

已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为
（i）若，求直线l的倾斜角；
（ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.

Answer 1

（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.
由题意可知，即ab=2.解方程组得a=2，b=1，
所以椭圆的方程为..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得
.
由，得.从而.
所以.
由，得.
整理得，即，解得k=.
所以直线l的倾斜角为或.。。。。。。。。。。。。。。。6分
（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.
以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是
由，得。
（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。
令，解得。由，，

，整理得。故。所以。
综上，或。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分

解析