Question

（2011•湖南模拟）已知向量a=（1，2cos²

1

2

wx-1），b=（sinwx，1）（w＞0），函数f（x）=a•b（x∈R）最小正周期为2π．
（1） 求y=f（x）的解析式，并求函数的单调递增区间；
（2） 若f（a）=

4 2

5

，a∈（0，

π

4

），求sina的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量数量积的坐标表示及辅助角公式可得，f（x）=

2

sin(ωx+

π

4

)，利用周期公式T=

2π

ω

可求ω=1，由2kπ-

1

2

π ≤x+

π

4

≤2kπ+ 

1

2

π可求单调增区间
（2））由f(α)=

4 2

5

，α∈(0，

π

4

)可求sin（α+

π

4

），cos（α+

π

4

），而sinα=sin[(α+

π

4

)-

π

4

]，利用两角差的正弦公式展开可求

解答：解：（1）∵

a

=(1，cosωx)   

b

=(sinωx，1)
∴f(x)=sinωx+cosωx=

2

sin(ωx+

π

4

)
又函数的最小正周期T=2π
故ω=1，f(x)=

2

sin(x+

π

4

)
由2kπ-

1

2

π ≤x+

π

4

≤2kπ+ 

1

2

π  可得 2kπ-

3π

4

≤ x≤2kπ+

π

4

函数的单调递增区间为[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]
（2）因为f(α)=

4 2

5

，α∈(0，

π

4

)
即

2

sin(α+

π

4

)=

4 2

5

∴sin(α+

π

4

)=

4

5

又α∈(0，

π

4

)  ∴ cos(α+

π

4

)=

3

5

∴sinα=sin[(α+

π

4

)-

π

4

]=

2

2

[sin(α+

π

4

)-cos(α+

π

4

)]=

2

10

点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，辅助角公式的应用，三角函数的周期公式，正弦函数的单调区间的求解，拆角的技巧在解题中的应用，是一道综合性较好的试题．