Question

已知p：?x∈R，sinx+cosx＞m，q：?x∈R，x²+m+1＜0．若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：先求出命题P与命题q为真命题的等价条件，由复合命题真值表得：若p∨q为真，p∧q为假，命题P，q一真一假，确定实数m的取值范围．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≥-

2

，
∴要使sinx+cosx＞m恒成立，则m＜-

2

，
即：命题P为真命题时，m＜-

2

．
若x²+m+1＜0有解，则m＜-x²-1有解，
∵-x²-1≤-1，∴m＜-1
即命题q为真命题时，m＜-1，
由复合命题真值表得：若p∨q为真，p∧q为假，命题P，q一真一假，
若命题P为真，命题q为假时，
则

m＜- 2 m≥-1

⇒m∈∅．
若命题P为假，命题q为真，则

m≥- 2 m＜-1

⇒-

2

≤m＜-1，≤m＜2．
综上：-

2

≤m＜-1．

点评：本题主要考查复合命题真假判定，利用函数的性质求出命题成立的等价条件是解决的关键．