Question

7．已知函数f（x）=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$．
（1）求函数f（x）在[0，$\frac{3π}{2}$]上的单调递增区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A为锐角，若$f（A）+sin（2A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，b+c=7，△ABC的面积为$2\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数f（x），根据三角函数的单调性求出它的单调递增区间；
（2）根据方程f（A）+sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，求出A的值，再根据△ABC的面积以及余弦定理求出a的值．

解答 解：（1）由题意得f（x）=sin²x-$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1-cos2x}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$
=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z；…（3分）
因为x∈[0，$\frac{3π}{2}$]，所以取$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$或$\frac{7π}{6}$≤x≤$\frac{3π}{2}$，
所以函数f（x）在[0，$\frac{3π}{2}$]上的单调递增区间为
[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，[$\frac{7π}{6}$，$\frac{3π}{2}$]； …（5分）
（2）由f（A）+sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
得-sin（2A+$\frac{π}{6}$）+sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$；
化简得cos2A=-$\frac{1}{2}$；…（6分）
又0＜A＜$\frac{π}{2}$，所以A=$\frac{π}{3}$；
由题意知，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$，
解得bc=8；…（8分）
又b+c=7，所以a²=b²+c²-2bccosA
=（b+c）²-2bc（1+cosA）
=49-2×8×（1+$\frac{1}{2}$）
=25；
故所求a的值为5．…（10分）

点评 本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．