Question

已知函数f（x）=

a+lnx

x

在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．
（1）求实数a的值及f（x）的极值；
（2）如果对任意x₁、x₂∈[e²，+∞]，有|f（x₁）-f（x₂）|≥k|

1

x1

-

1

x2

|，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立条件关系即可求实数a的值及f（x）的极值；
（2）根据不等式单调函数的单调性关系，将不等式进行转化，利用导数求函数的最值即可得到结论．

解答： 解：（1）函数的f（x）的导数f′（x）=

1 x •x-(a+lnx)

x2

=

1-a-lnx

x2

，
∵f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f′（0）=

1-a-ln1

12

=0，
∴a=1，
∴f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，f′（x）=-

lnx

x2

，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减，
故f（x）在x=1处取得极大值1，无极小值
（2）由（1）的结论知，f（x）在[e²，+∞）上单调递减，不妨设x₁≥x₂≥e²，
则|f（x₁）-f（x₂）|≥k|

1

x1

-

1

x2

|，?f（x₂）-f（x₁）≥k（

1

x2

-

1

x1

），
?f（x₂）-k•

1

x2

≥f（x₁）-k•

1

x1

，
?函数F（x）=f（x）-

k

x

=

1+lnx

x

-

k

x

在[e²，+∞）上单调递减，
则F′（x）=

k-lnx

x2

≤0在[e²，+∞）上恒成立，
∴k≤lnx在[e²，+∞）上恒成立，
在[e²，+∞）上，（lnx）_min=lne²=2，
故k≤2．

点评：本题主要考查导数的综合应用，根据导数的几何意义求出a，以及函数极值，最值和导数之间的关系是解决本题的关键．