【题目】在平面直角坐标系中，动点
到定点
的距离和它到直线
的距离
之比是常数
，记动点
的轨迹为
.
（1）求轨迹
的方程；
（2）过点
且不与
轴重合的直线
，与轨迹交于
,
两点，线段
的垂直平分线与
轴交于点
，与轨迹是否存在点
，使得四边形
为菱形？若存在，请求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
；(2)
或
.
【解析】
试题分析：（1）直接根据题设条件列出等式，再进行化简，即可得到动点
的轨迹
的方程；（2）先假设存在，并设出直线
的方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理得到
中点的坐标，进而表示出点
的坐标，再根据点
在椭圆上，可求出直线的方程.
试题解析：（1）设动点
，
动点
到定点
的距离和它到直线
的距离之比是常数
，
由题意，得
，
化简整理得
的方程为
.
轨迹
的方程为. ...（3分）
（2）假设存在
满足条件.依题意设直线
为
，
联立
，消去
，得
，
令
，
，
则
，
，...（7分）
的中点
的坐标为
.
，
直线
的方程为
，
令
，解得
，即
. ...（9分）
、
关于点对称，
，
，
解得
，
，即
. ...（11分）
点
在椭圆上，
，
解得
，
，
，
的方程为或. ...（13分）
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家禽试验，调查了100个样本，统计结果为：服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本.
（1）根据所给样本数据完成下面2×2列联表；
（2）请问能有多大把握认为药物有效？
不得禽流感 | 得禽流感 | 总计 | |
服药 | |||
不服药 | |||
总计 |
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知圆
.
（1）若不经过坐标原点的直线
与圆
相切，且直线
在两坐标轴上的截距相等，求直线
的方程；
（2）设点
在圆
上，求点
到直线
距离的最大值与最小值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查了观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）
男 | 女 | 总计 | ||||||
喜爱 | 40 | 60 | 100 | |||||
不喜爱 | 20 | 20 | 40 | |||||
总计 | 60 | 80 | 140 | |||||
p（k2≥k0） | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |||
k0 | 2.705 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | |||
（Ⅰ）从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名？
（Ⅱ）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关?（精确到0.001）
（Ⅲ）从（Ⅰ）中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率．
附： 
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知函数
， 
，其中
， 
， 
为自然对数的底数.
（Ⅰ）若
和
在区间
内具有相同的单调性，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）若
，且函数
的最小值为
,求
的最小值.
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