设函数f(x)=+
,g(x)=
ln(2ex)(其中e为自然对数的底数)
(1)求y=f(x)-g(x)(x>0)的最小值;
(2)是否存在一次函数h(x)=kx+b使得f(x)≥h(x)且h(x)≥g(x)对一切x>0恒成立;若存在,求出一次函数的表达式,若不存在,说明理由:
3)数列{}中,a1=1,
=g(
)(n≥2),求证:
<
<
<1且
<
.
(1)最小值0;(2)见解析;(3)见解析.
解析试题分析:(1)利用导数求解即可;(2)假设存在,,
,
然后利用导数求出最小值判断即可;(3)先证
递减且
由(2)知
时
,又
在
上递增,所以当
时,总有
,即
也成立,然后利用数学归纳法证明.
试题解析:(1)
易知时
,
时
所以在
上递减,而在
上递增 2分
故时,
取最小值0 3分
(2)由(1)可知,
所以若存在一次函数使得
且总成立,则
,即
;
所以可设,代入
得
恒成立,
所以,所以
,
,
此时设,则
,
易知在
上递减,在
上递增,
所以,即
对一切
恒成立;
综上,存在一次函数符合题目要求 6分
(3)先证递减且
由(2)知时
,又
在
上递增,所以当
时,
总有,即
也成立
下面用数学归纳法证明
(1)时,因为
,所以
成立;
(2)假设时,结论成立,即
由于时,
,又
在
上递增,
则,即
也成立
由(1)(2)知,恒成立;而
时
所以递减
综上所述
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数,其中
.
(I)若函数图象恒过定点P,且点P关于直线
的对称点在
的图象上,求m的值;
(Ⅱ)当时,设
,讨论
的单调性;
(Ⅲ)在(I)的条件下,设,曲线
上是否存在两点P、Q,使△OPQ(O为原点)是以O为直角顶点的直角三角形,且斜边的中点在y轴上?如果存在,求a的取值范围;如果不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,
,其中
且
.
(Ⅰ)当,求函数
的单调递增区间;
(Ⅱ)若时,函数
有极值,求函数
图象的对称中心坐标;
(Ⅲ)设函数 (
是自然对数的底数),是否存在a使
在
上为减函数,若存在,求实数a的范围;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数,其中
.
(1)若,求
在
的最小值;
(2)如果在定义域内既有极大值又有极小值,求实数
的取值范围;
(3)是否存在最小的正整数,使得当
时,不等式
恒成立.
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