Question

求半径为R的球的内接圆柱的体积的最大值，且求出圆柱体积最大时的底面半径．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是棱柱、棱锥、棱台的体积，为求出圆柱体积最大时的底面半径，我们可以设圆柱体的底面半径为r，进而根据截面圆半径、球半径、球心距满足勾股定理，我们可以用R与r表示出圆柱的高，进而得到其体积的表达式，然后结合基本不等式，即可得到圆柱体积最大时的底面半径的值．

解答：解：设圆柱体的底面半径为r，
则球心到底面的高（即圆柱高的一半）为d，
则d=

R2-r2

，
则圆柱的高为h=2

R2-r2

则圆柱的体积V=πr²h≤

1

2

π（r²+h）
当且仅当r²=h时V取最大值
即r²=2

R2-r2

即r=

2( 1+R2 -1)

时，
圆柱体积取最大值．

点评：若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，即R²=r²+d²