Question

如右图所示，已知△OAB中，点C是以A为中心的点B的对称点，D在OB上，且

OD

=2

DB

，DC和OA交于E，设

OA

=

a

，

OB

=

b

．
（1）用

a

和

b

表示向量

OC

、

DC

；
（2）若

OE

=λ

OA

，用向量的方法求实数λ的值．

Answer 1

分析：（1）由

OA

=

1

2

(

OB

+

OC

)可求出

OC

，根据

DC

=

OC

-

OD

可求得结果；
（2）由于D、E、C三点共线，可得

DE

=2λ

a

-

5

3

λb

，再由

DE

=-

2

3

b

+μ

a

，可得λ，μ的方程组，解之即可．

解答：解：（1）由题意可得A是BC的中点，所以

OA

=

1

2

(

OB

+

OC

)，
∴

OC

=2

OA

-

OB

=2

a

-

b

，
∴

DC

=

OC

-

OD

=2

a

-

b

-

2

3

b

=2

a

-

5

3

b

，
（2）由于D、E、C三点共线，∴

DE

=λ

DC

=2λ

a

-

5

3

λb

，
又

DE

=

DO

+

OE

=-

2

3

OB

+μ

OA

=-

2

3

b

+μ

a

，
∴2λ

a

-

5

3

λb

=-

2

3

b

+μ

a

，故有2λ=μ，-

5

3

λ=-

2

3

，
解得λ=

2

5

，μ=

4

5

，故实数λ的值为

2

5

点评：本题考查平面向量基本定理及向量的表示，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属中档题．