Question

已知函数f（x）=e^x-x（e为自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若n∈N^*，证明：(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜

e

e-1

．

Answer 1

分析：（1）求出f'（x）=e^x-1，当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0，故当x=0时，f（x）有最小值1．
（2） 令x=-

k

n

，则∴(1-

k

n

)n≤(e- 

k

n

)n=e-k(k=1，2，，n-1)，得到
(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n≤e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1，利用等比数列求和公式和放缩法，可证明 e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-x，∴f'（x）=e^x-1，令f'（x）=0，得x=0．
∴当x＞0时，f'（x）＞0，当x＜0时，f'（x）＜0．∴函数f（x）=e^x-x在区间（-∞，0）上单调递减，
在区间（0，+∞）上单调递增．∴当x=0时，f（x）有最小值1．
（2）证明：由（1）知，对任意实数x均有e^x-x≥1，即1+x≤e^x．令x=-

k

n

（n∈N^*，k=1，2，，n-1），
则 0＜1-

k

n

≤e-

k

n

，∴(1-

k

n

)n≤(e- 

k

n

)n=e-k(k=1，2，，n-1)．
即(

n-k

n

)n≤e-k(k=1，2，，n-1)．∵(

n

n

)n=1，
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n≤e-(n-1)+e-(n-2)+… ．+e-2+e-1+1．
∵e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1=

1-e-n

1-e-1

＜

1

1-e-1

=

e

e-1

，
∴(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n＜

e

e-1

．

点评：本题考查利用导数求函数的最值，等比数列求和公式，用放缩法证明不等式，得到
(

1

n

)n+(

2

n

)n+…+(

n-1

n

)n+(

n

n

)n≤e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1是解题的关键和难点．