Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx，g（x）= +x﹣a（a∈R）． （Ⅰ）若直线x=m（m＞0）与曲线y=f（x）和y=g（x）分别交于M，N两点．设曲线y=f（x）在点M处的切线为l1 ， y=g（x）在点N处的切线为l2 ．
（ⅰ）当m=e时，若l1⊥l2 ， 求a的值；
（ⅱ）若l1∥l2 ， 求a的最大值；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内恰有两个不同的极值点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ． 若λ＞0，且λlnx2﹣λ＞1﹣lnx1恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）（i）∵函数f（x）=xlnx，∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx， ∵g（x）= +x﹣a（a∈R），∴g′（x）=ax+1，
当m=e时，f′（e）=1+lne=2，g′（e）=ae+1，
∵l1⊥l2 ， ∴f′（e）g′（e）=2（ae+1）=﹣1，
解得a=﹣ ．
（ii）∵函数f（x）=xlnx，∴f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx，
∵g（x）= +x﹣a（a∈R），∴g′（x）=ax+1，
∴f′（m）=1+lnm，g′（m）=am+1，
∵l1∥l2 ， ∴f′（m）=g′（m）在（0，+∞）上有解，
∴lnm=am在（0，+∞）上有解，
∵m＞0，∴a= ，
令F（x）= （x＞0），则 =0，解得x=e，
当x∈（0，e）时，F′（x）＞0，F（x）为增函数，
当x∈（e，+∞）时，F′（x）＜0，F（x）为减函数，
∴F（x）max=F（e）= ，
∴a的最大值为 ．
（Ⅱ）h（x）=xlnx﹣ ﹣x+a，（x＞0），h′（x）=lnx﹣ax，
∵x1 ， x2为h（x）在其定义域内的两个不同的极值点，
∴x1 ， x2是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1 ， lnx2=ax2 ，
两式作差，并整理，得：a= ，
∵λ＞0，0＜x1＜x2 ，
由λlnx2﹣λ＞1﹣lnx1 ， 得1+λ＜lnx1+λlnx2 ，
则1+λ＜a（x1+λx2），∴a＞ ，∴ ＞ ，
∴ln ＜ ，
令t= ，则t∈（0，1），由题意知：
lnt＜ 在t∈（0，1）上恒成立，
令φ（t）=lnt﹣ ，则φ′（t）= = ，
①当λ2≥1时，即λ≥1时，t∈（0，1），φ′（t）＞0，
∴φ（t）在（0，1）上单调递增，
又φ（1）=0，则φ（t）＜0在（0，1）上恒成立．
②当λ2＜1，即0＜λ＜1时，t∈（0，λ2）时，φ′（t）＞0，φ（t）在（0，λ2）上是增函数；
当t∈（λ2 ， 1）时，φ′（t）＜0，φ（t）在（λ2 ， 1）上是减函数．
又φ（1）=0，∴φ（t）不恒小于0，不合题意．
综上，λ的取值范围是[1，+∞）．
【解析】（Ⅰ）（i）f（x）的定义域为{x|x＞0}，f′（x）=1+lnx，g′（x）=ax+1，当m=e时，f′（e）=1+lne=2，g′（e）=ae+1，由l1⊥l2 ， 利用导数的几何意义得f′（e）g′（e）=2（ae+1）=﹣1，由此能求出a． （ii）f′（m）=1+lnm，g′（m）=am+1，由l1∥l2 ， 得lnm=am在（0，+∞）上有解，从而a= ，令F（x）= （x＞0），由 =0，得x=e，利用导数性质求出F（x）max=F（e）= ，由此能求出a的最大值．（Ⅱ）h（x）=xlnx﹣ ﹣x+a，（x＞0），h′（x）=lnx﹣ax，从而x1 ， x2是方程lnx﹣ax=0的两个根，进而a= ，推导出 ＞ ，从而ln ＜ ，令t= ，则t∈（0，1），从而lnt＜ 在t∈（0，1）上恒成立，令φ（t）=lnt﹣ ，则φ′（t）= = ，由此根据λ2≥1和λ2＜1分类讨论，利用导数性质能求出λ的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．