Question

已知-1≤x≤2，求函数f（x）=3+2•3^x+1-9^x的值域．

Answer 1

解：f（x）=3+2•3^x+1-9^x=-（3^x）²+6•3^x+3．
令3^x=t，则y=-t²+6t+3=-（t-3）²+12．
∵-1≤x≤2，∴≤t≤9．
∴当t=3，即x=1时，y取得最大值12；
当t=9，即x=2时，y取得最小值-24，
即f（x）的最大值为12，最小值为-24．
∴函数f（x）的值域为[-24，12]．
分析：利用换元法，转化为二次函数，利用配方法，根据函数的定义域，即可求得函数f（x）的值域．
点评：本题考查函数值域的求解，考查换元法的运用，解题的关键是换元转化为二次函数求值域问题．