Question

16．平面直角坐标系中有一个△ABC，已知B（-1，0），C（1，0），且|AB|=$\sqrt{2}$|AC|．
（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程；
（Ⅱ）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求顶点A的轨迹方程；
（Ⅱ）求出A到x轴的最大距离，即可求△ABC的面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设A（x，y），则
∵B（-1，0），C（1，0），且|AB|=$\sqrt{2}$|AC|，
∴（x+1）²+y²=2（x-1）²+2y²，
∴x²+y²-6x+1=0
∴顶点A的轨迹方程为x²+y²-6x+1=0；
（Ⅱ）x²+y²-6x+1=0可化为（x-3）²+y²=8，
∴A到x轴的最大距离为2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面积的最大值为$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．