Question

（2012•茂名二模）如图所示，圆柱的高为2，PA是圆柱的母线，ABCD为矩形，AB=2，BC=4，E、F、G分别是线段PA，PD，CD的中点．
（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求证：PB∥面EFG；
（3）在线段BC上是否存在一点M，使得D到平面PAM的距离为2？若存在，求出BM；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）证明平面PDC⊥平面PAD，只需证明CD⊥平面PAD即可；
（2）取AB中点H，连接GH，HE，证明E，F，G，H四点共面，再证明EH∥PB，利用线面平行的判定，即可证明PB∥面EFG；（3）假设在BC上存在一点M，使得点D到平面PAM的距离为2，则以△PAM为底D为顶点的三棱锥的高为2，连接AM，则AM=

AB2+BM2

=

4+BM2

，利用等体积V_D-PAM=V_P-AMD，即可求得结论．

解答：（1）证明：∵PA是圆柱的母线，∴PA⊥圆柱的底面．…（1分）
∵CD?圆柱的底面，∴PA⊥CD
又∵ABCD为矩形，∴CD⊥AD
而AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD              …（3分）
又CD?平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD．  …（4分）
（2）证明：取AB中点H，连接GH，HE，
∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，
∴GH∥AD∥EF，
∴E，F，G，H四点共面．           …（6分）
又H为AB中点，∴EH∥PB．        …（7分）
又EH?面EFG，PB?平面EFG，
∴PB∥面EFG．                     …（9分）
（3）解：假设在BC上存在一点M，使得点D到平面PAM的距离为2，则以△PAM为底D为顶点的三棱锥的高为2，
连接AM，则AM=

AB2+BM2

=

4+BM2

，
由（2）知PA⊥AM，∴S_△PAM=

1

2

PA•AM=

1

2

×2×

4+BM2

=

4+BM2

∴V_D-PAM=

1

3

S△PAM×2=

1

3

×

4+BM2

×2=

2

3

4+BM2

…（11分）
∵S_△AMD=

1

2

AD×AB=

1

2

×4×2=4
∴V_P-AMD=

1

3

S_△AMD×PA=

1

3

×4×2=

8

3

   …（12分）
∵V_D-PAM=V_P-AMD
∴

2

3

4+BM2

=

8

3

   
解得：BM=2

3

∵2

3

＜4
∴在BC上存在一点M，当BM=2

3

使得点D到平面PAM的距离为2…（14分）

点评：本题考查面面垂直，考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握面面、线面垂直的判定定理，正确计算三棱锥的体积，属于中档题．