Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面的菱形，∠BCD=60°，点E是BC边的中点，AC与DE交于点O，PO⊥平面ABCD，
（1）求证：PD⊥BC；
（2）若AB=6，PC=6，求二面角P-AD-C的大小；
（3）在（2）的条件下，求异面直线PB与DE所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接DB，DE⊥BC而PO⊥平面ABCD，则OD是斜边PD在底面ABCD内的射影，根据三垂线定理可知PD⊥BC；
（2）根据二面角平面角的定义可知∠PDO为二面角P-AD-C的平面角，在Rt△POD中，求出∠PDO即可；
（3）取AD中点H，连接HB，HP则HB∥DE，HB与PB所成的角既是DE与PBD所成角，连接OH，OB，在Rt△DOH中，求出OH，在Rt△PHO中，求出PH，在Rt△POB中，求出PB，设HB与PB所成角为α，利用余弦定理可求出此角．
解答：解：（1）证明：在菱形ABCD中，连接DB则△BCD是等边三角形．
点E是BC边的中点
∴DE⊥BC
∵PO⊥平面ABCD
∴OD是斜边PD在底面ABCD内的射
∴PD⊥BC

（2）解：由（1）知DE⊥BC
菱形ABCD中AD∥BC∴DE⊥AD有∵PO⊥平面ABCD
DE是PD在平面ABCD的射影
∴PD⊥AD
∴PDO为二面角P-AD-C的平面角
菱形ABCD中，AD⊥DE
由（1）知△BCD为等边三角形
∵点E是BC边的中点AC与BD互相平分
∴点O是△BCD重心∵又∵在等边△BCD中，

∴OC=OD=6∵
∴在Rt△POD中，tan∠PDO=∴
∴二面角P-AD-C的大小为

（3）解：取AD中点H，连接HB，HP则HB∥DE
∴HB与PB所成的角既是DE与PBD所成角
连接OH，OB
∵PO⊥平面ABCD，OH，OB?平面ABCD
∴PO⊥OH，PO⊥OB
在Rt△DOH中，HD=3OD=6
∴
在Rt△PHO中，PH=
在Rt△POB中，OB=OC=6，PB=
由（2）可知DE=HB=9
设HB与PB所成角为α
则cosα=
异面直线PB，DE所成角的余弦值为
点评：求二面角，关键是构造出二面角的平面角，常用的方法有利用三垂线定理和通过求法向量的夹角，然后再将其转化为二面角的平面角．