Question

3．已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，f（x）＜0的解集为（0，$\frac{2}{3}$），数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N⁺）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜$\frac{m}{20}$对所有n∈N⁺都成立的最小正整数m．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出函数f（x）的表达式，结合数列的前n项和公式即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，利用裂项法进行求解，解不等式即可．

解答 解：（1）设这二次函数f（x）=ax²+bx （a≠0），则 f′（x）=2ax+b，由f（x）＜0的解集为（0，$\frac{2}{3}$），
得a=3，b=-2，所以  f（x）=3x²-2x．
又因为点（n，S_n）（n∈N⁺）均在函数y=f（x）的图象上，所以S_n=3n²-2n．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（3n²-2n）-3（n-1）²-2（n-1）=6n-5．
当n=1时，a₁=S₁=3×1²-2=6×1-5，所以，a_n=6n-5 （n∈N⁺）
（2）由（Ⅰ）得知b_n=$\frac{3}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{（6n-5）[6（n-1）-5]}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$），
故T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{6n-5}$-$\frac{1}{6n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$），
因此，要使T_n＜$\frac{m}{20}$，即$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{6n+1}$）＜$\frac{m}{20}$，成立的m，必须且仅须满足$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{20}$，
即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10．

点评 本题主要考查数列通项公式以及数列求和的应用，利用裂项法是解决本题的关键．