Question

曲线N：y²=2px（p＞0）的焦点到准线的距离为

1

2

．
（1）求曲线N；
（2）过点T（-1，0）作直线l与曲线N交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E（x₀，0），使得△ABE是等边三角形，若存在，求出x₀；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）据抛物线的定义可知点F（

1

4

，0）为抛物线的焦点，x=-

1

4

为其准线，
∴p=

1

2

，
∴曲线N：y²=x（3分）
（2）依题意知，直线的斜率存在，且不等于0．
设直线l：y=k（x+1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=k(x+1) y2=x

消y整理，得k²x²+（2k²-1）x+k²=0①
由直线和抛物线交于两点，得△=（2k²-1）²-4k⁴=-4k²+1＞
0即0＜k2＜

1

4

②（5分）
由韦达定理，得：x1+x2=-

2k2-1

k2

，x₁x₂=1．
∴y1+y2=

1

k

则线段AB的中点为(-

2k2-1

2k2

，

1

2k

)．（8分）
线段的垂直平分线方程为：y-

1

2k

=-

1

k

(x-

1-2k2

2k2

)
令y=0，得x0=

1

2k2

-

1

2

，则E(

1

2k2

-

1

2

，0)（10分）
∵△ABE为正三角形，
∴E(

1

2k2

-

1

2

，0)到直线AB的距离d为

3

2

|AB|．（11分）
又∵|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1-4k2

k2

•

1+k2

d=

1+k2

2|k|

∴

3 1-4k2

2k2

•

1+k2

=

1+k2

2|k|

解得k=±

39

13

满足②式（13分）
此时x0=

5

3

．（14分）