Question

求证：关于x的方程x²+mx+1=0有两个负实根的充要条件是m≥2．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用

分析：根据韦达定理证明充分性，必要性，从而得出它们的正确性，进而得出结论．

解答： 证明：（1）充分性：∵m≥2，∴△=m²-4≥0，
方程x²+mx+1=0有实根，
设x²+mx+1=0的两根为x₁，x₂，
由韦达定理知：x₁x₂=1＞0，∴x₁、x₂同号，
又∵x₁+x₂=-m≤-2，
∴x₁，x₂同为负根．
（2）必要性：∵x²+mx+1=0的两个实根x₁，x₂均为负，且x₁•x₂=1，
∴m-2=-（x₁+x₂）-2=-(x1+

1

x1

)-2
=-

x12+2x1+1

x1

=-

(x1+1)2

x1

≥0．
∴m≥2．综上（1），（2）知命题得证．

点评：本题考查了充分必要条件，考查了二次函数的性质，韦达定理，是一道中档题．