Question

设函数f(x)=

a

2

x2+cosx-1(x∈(0，+∞))的导数为f′（x）．
（I）当a=1时，证明：f′（x）＞0；
（II）当a=1时，数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，且a_n+1=f（a_n），求证：0＜a_n+1＜a_n＜1；
（III）若y=f（x）的单调增函数，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）将a=1代入f（x）解析式，利用导数运算法求出f′（x）．转化为研究f′（x）恒正，考虑它的单调性以此解决函数值域．
（II）由已知不易作差或作商，可考虑数学归纳法证明．
（III）利用导数与单调性的关系求解，a的取值应使f′（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

1

2

x2+cosx-1(x∈(0，+∞))
g（x）=f′（x）=x-sinx
g（x）=f′（x）=x-sinx，g′（x）=1-cosx≥0对任意x∈（0，+∞）恒成立，所以y=g（x）在∈（0，+∞）上是增函数
故g（x）＞g（0）=0，即f′（x）＞0．
（II）由（I）知，f（x）在[0，1]上单调递增．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，由0＜a₁＜1得f（0）＜f（a₁）＜f（1）=-

1

2

+cos1＜1，故0＜a₂＜1
又a₂=f（a₁）=

1

2

a12+cosa1-1＜

1

2

a12＜a2，
即当n=1时，0＜a2＜a1＜1
②假设n=k（k≥1）时，有0＜a_k+1＜a_k＜1，则当n=k+1时，有f（0）＜f（a_k+1）＜f（a_k）＜f（1）
即0＜a_k+2＜a_k+1＜f（1）＜1
即当n=k+1时命题成立．
由①②知：0＜a_n+1＜a_n＜1对任意正整数都成立．
 （III）由f(x)=

a

2

x2+cosx-1(x∈(0，+∞))
得h（x）=f′（x）=ax-sinx，若y=f（x）是单调增函数，f′（x）=ax-sinx＞0恒成立．
①当a≥1时，任意x∈（0，+∞）恒有ax≥x＞sinx，此时f′（x）=ax-sinx＞0
∴y=f（x）在（0，+∞）是单调增函数．
②当0＜a＜1时，h′（x）=a-cosx=0得cosx=a，在（0，

π

2

）上存在x₀使得cosx₀=a
当x∈（0，x₀）时h′（x）=a-cosx＜0，h（x）=f′（x）＜f（0）=0这与任意x∈（0，+∞）恒成立矛盾
综上a≥1为所求．

点评：本题是函数与不等式、数列，三角的综合性题目．考查函数的求导运算，单调性与导数关系的应用，不等式的证明方法，数学归纳法，三角函数的有界性，分类讨论思想．需要较强的分析解决问题的能力．此题盘整了中学的重要数学知识和思想方法，是难题，也是好题．可细心体会．