Question

已知函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R，
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）该函数的图象可由函数y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

分析：利用二倍角公式，平方关系，两角和的正弦函数，化简函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x，x∈R为一个角的一个三角函数的形式，
（Ⅰ）由T=

2π

|ω|

得周期；
（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得到．

解答：解：y=sin2x+cos2x+2=2sin（2x+

π

4

）+2；
（Ⅰ）T=

2π

2

=π；函数的最小正周期为π
（Ⅱ）将函数y=sinx的图象向左平移

π

4

个单位，再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的

1

2

倍（纵坐标不变式），即得函数f（x）的图象．图象上各点纵坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后把得到的图象向上平移2个单位长度，得到函数y=2sin（2x+

π

4

）+2的图象．

点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是基础题．