Question

已知动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l₁，l₂，分别交曲线C于点A、B和M、N，设线段AB、MN的中点分别为P、Q，求证：直线PQ恒过一个定点．

Answer 1

分析：（1）设动点M的坐标为（x，y），根据动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度，建立方程，化简可得点M的轨迹C的方程；
（2）设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则点P的坐标为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

），可设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），与抛物线方程联立，利用韦达定理可求点P的坐标为（1+

2

k2

，

2

k

），同理可得点的坐标为（1+2k²，-2k），进而可确定直线PQ的方程，即可得到结论．

解答：（1）解：设动点M的坐标为（x，y），
由题意，∵动点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大1个单位长度
∴

(x-1)2+y2

=|x|+1
化简得y²=4x，
所以点M的轨迹C的方程为y²=4x．
（2）证明：设A，B两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则点P的坐标为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）．
由题意可设直线l₁的方程为y=k（x-1）（k≠0），
由

y=k(x-1) y2=4x

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
△=（2k²+4）²-4k⁴=16k²+16＞0，x₁+x₂=2+

4

k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

4

k

．
所以点P的坐标为（1+

2

k2

，

2

k

）．
由题知，直线l₂的斜率为-

1

k

，同理可得点的坐标为（1+2k²，-2k）．
当k≠±1时，有1+

2

k2

≠1+2k²，此时直线PQ的斜率k_PQ=

k

1-k2

．
所以，直线PQ的方程为y+2k=

k

1-k2

（x-1-2k²），
整理得yk²+（x-3）k-y=0，于是，直线PQ恒过定点E（3，0）；
当k=±1时，直线PQ的方程为x=3，也过点E（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）．

点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系和综合应用，具有一定的难度，解题的关键是直线与抛物线的联立，确定直线PQ的方程．