Question

如图，“杨辉三角”中从上往下数共有n（n＞7，n∈N）行，设其第k（k≤n，k∈N^*）行中不是1的数字之和为a_k，由a₁，a₂，a₃，…组成的数列{a_n}的前n项和是S_n现有下面四个结论：①a₈=254；②a_n=a_n-1+2n；③S₃=22；④S_n=2ⁿ⁺¹-2-2n．其中正确结论的序号为

1. A.
   ①④
2. B.
   ②④
3. C.
   ④
4. D.
   ①②③④

Answer 1

A
分析：①由题意可得，第8行中的数为C₈⁰，C₈¹，C₈²，…C₈⁸，则a₈=C₈¹+…+C₈⁷=2⁸-2，计算可判断①
②由题意可得，a_n=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ-2=2ⁿ-2，a_n-1=C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1=2^n-1-2则，代入可检验②
③由题意可得，S₃=a₁+a₂+a₃=0+2+6，从而可判断③
④S_n=a₁+a₂+…+a_n=（2¹-2）+（2²-2）+…+（2ⁿ-1）-1，利用分组求和及等比数列的求和公式可判断④
解答：①由题意可得，第8行中的数为C₈⁰，C₈¹，C₈²，…C₈⁸，则a₈=C₈¹+…+C₈⁷=2⁸-2=254，故①正确
②由题意可得，a_n=C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ-2=2ⁿ-2，a_n-1=C_n-1⁰+C_n-1¹+…+C_n-1^n-1=2^n-1-2则a_n-1+2n=2^n-1+2n≠2ⁿ，故②错误
③由题意可得，S₃=a₁+a₂+a₃=0+2+6=8，故③错误
④S_n=a₁+a₂+…+a_n=（2¹-2）+（2²-2）+…+（2ⁿ-1）-1=（2¹+2²+…+2ⁿ）-2n==2ⁿ⁺¹-2n-2，故④正确
故选A
点评：本题主要考查 了由杨辉三角求解数列的和，二项式系数的性质的应用，解题的关键是由题目中的定义合理准确的进行求解．