Question

如果对于区间I 内的任意x，都有f（x）＞g（x），则称在区间I 上函数y=f（x）的图象位于函数y=g（x）图象的上方．
（1）已知a＞b＞1，求证：在（1，+∞）上，函数y=log_bx的图象位于y=log_ax的图象的上方；
（2）若在区间[

1

2

， 2]上，函数f（x）=4^x+m的图象位于函数g（x）=2^x+1-3x图象的上方，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）即证log_bx＞log_ax对x∈（1，+∞）恒成立，根据a＞b＞1，且x∈（1，+∞）利用对数的单调性判断出0＜log_xb＜log_xa，再利用换底公式即可得到证明的结论；
（2）根据题意，转化为f（x）＞g（x）对x∈[

1

2

， 2]恒成立，利用参变量分离的方法，转化为求函数的最值，解之即可求出实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵x∈（1，+∞），
∴y=log_xt是单调递增函数，
∵a＞b＞1，
∴0＜log_xb＜log_xa，
∴

1

logxb

＞

1

logxa

，再根据换底公式，
∴log_bx＞log_ax，
∴在（1，+∞）上，函数y=log_bx的图象位于y=log_ax的图象的上方．
（2）∵在区间[

1

2

， 2]上，函数f（x）=4^x+m的图象位于函数g（x）=2^x+1-3x图象的上方，
∴4^x+m＞2^x+1-3x对任意x∈[

1

2

，2]恒成立，
∴m＞-4^x+2•2^x-3x在[

1

2

，2]上恒成立，即m＞[-4^x+2•2^x-3x]_max，
令t=2^x，
∵x∈[

1

2

，2]，则

2

≤t≤4，
∴y=-4^x+2•2^x-3x=-t²+2t-3log₂t，
记h（t）=-t²+2t-3log₂t，
∵y=-t²+2t在[

2

， 4]上是减函数，y=-3log₂t在[

2

， 4]上也是减函数，
∴函数h（t）=-t²+2t-3log₂t在[

2

， 4]上是减函数，
∴h（t）在[

2

， 4]的最大值为h(

2

)=-2+2

2

-3log2

2

=2

2

-

7

2

，
∴m＞[-4^x+2•2^x-3x]_max=2

2

-

7

2

，
∴实数m的取值范围象是m＞2

2

-

7

2

．

点评：本题考查了函数的恒成立问题，以及对数的性质和运算，涉及了对数的换底公式．对于函数的恒成立问题，一般会选用参变量分离的方法进行处理，再分离时有时要注意是否进行分类讨论，然后转化为求函数的最值问题．本题是应用函数的单调性求解最值．属于中档题．