Question

21、已知圆C：x²+y²-4x+2y+1=0，直线l：y=kx-1．
（1）当k为何值时直线l过圆心；
（2）是否存在直线l与圆C交于A，B两点，且△ABC的面积为2？如果存在，求出直线l的方程，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知中圆C的一般方程x²+y²-4x+2y+1=0，我们可以求出圆C的标准方程，求出圆心坐标后，代入直线方程构造出一个关于k的一元一次方程，解方程即可得到答案．
（2）由（1）的结论我们易得圆C的半径为2，又由△ABC的面积为2，则∠ACB=90°，求出满足条件的k值，代入即可得到满足条件 的直线方程．

解答：解：（1）圆C：x²+y²-4x+2y+1=0的一般方程为（x-2）²+（y+1）²=2
其中圆心为（2，-1）点
若直线l：y=kx-1过圆心
则-1=2k-1，解得K=0
即k=0时，直线l过圆心；
（2）∵圆C的半径为2
故当△ABC的面积为2时，OA⊥OB
又∵直线l：y=kx-1恒过圆上一点（0，-1）
故当K=±1时满足要求
此时直线方程为y=±x-1．

点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中求出圆的的标准方程是解答的关键．