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    已知函数f(x)=
    sinπx(x2+1)(x2-2x+2)
    ．（1）那么方程f（x）=0在区间[-2009，2009]上的根的个数是
    202
    202
    ；（2）对于下列命题：①函数f（x）是周期函数；②函数f（x）既有最大值又有最小值；③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴；④对于任意x∈（-1，0），函数f（x）的导函数f'（x）＜0．其中真命题的序号是
    ②③
    ②③
    ．（填写出所有真命题的序号）
    分析：观察函数的解析式f(x)=
    sinπx
    (x2+1)(x2-2x+2)
    它不是一个奇函数，由于分子的值从-1到1周期性变化，分母的值随着x的值远离原点，逐渐趋向于正无穷大，函数图象逐渐靠近x轴，由这些性质对四个命题进行判断选出正确选项
    解答：解：（1）由于分母恒正，所以方程f（x）=0等价于sinπx=0，由于周期为T=2，故在区间[-2009，2009]上的根的个数是4019个；（2）①函数f（x）是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于X轴，故不是周期函数；②函数f（x）既有最大值又有最小值，由①的判断知，函数存在最大值与最小值，此命题正确；③函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴，由函数解析式可以得出，其图象周期性穿过X轴，由于分母不断增大，图象往两边延伸都无限靠近于X轴，其对称轴是x=
    1
    2
    ，此命题正确；④对于任意x∈（-1，0），f′（x）＜0（f′（x）是函数f（x）的导函数），此命题不正确，由于自变量从-1变化到0分母变小，而分子由0减小到-1，再由-1增大到0，所以函数值的变化是选减小再增大，故导数恒小于0不成立．此命题不正确．综上，②③正确
    故答案为4019；②③
    点评：考查了函数思想，转化思想，属中档题，是个基础题．还考查函数图象的对称变化和一元二次方程根的问题，以及函数奇偶性的判定方法等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力，数形结合法是解答本类题的重要方法．本题函数解析式复杂，不利于判断
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （附加题）
    （Ⅰ）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时有x2∈S，给出下列四个结论：
    ①若m=2，则l=4
    ②若m=-
    1
    2
    ，则
    1
    4
    ≤l≤1
    ③若l=
    1
    2
    ，则-
    		2
    2
    ≤m≤0    ④若m=1，则S={1}，
    其中正确的结论为
    ②③④
    ②③④
    ．
    （Ⅱ）已知函数f(x)=x+
    a
    x
    +b(x≠0)    ，其中a，b∈R．若对于任意的a∈[
    1
    2
    ，2]    ，f（x）≤10在x∈[
    1
    4
    ，1]    上恒成立，则b的取值范围为
    （-∞，
    7
    4
    ]
    （-∞，
    7
    4
    ]
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
    记aij是这个数表的第i行第j列的数．例如a43=17
    （Ⅰ）  求该数表前5行所有数之和S；
    （Ⅱ）2009这个数位于第几行第几列？
    （Ⅲ）已知函数f(x)=
    3x
    3n
    （其中x＞0），设该数表的第n行的所有数之和为bn，
    数列{f（bn）}的前n项和为Tn，求证Tn＜
    2009
    2010
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•开封二模）已知函数f(x)=sin(x+
    π
    6
    )+2sin2
    x
    2
    ．
    （I）求函数f（x）的单调递增区间；
    （II）记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=
    3
    2
    ，△ABC的面积S=
    		3
    2
    ，a=
    		3
    ，求b+c的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•黑龙江一模）已知函数f(x)=
    		3
    2
    sinxcosx-
    3
    2
    sin2x+
    3
    4
    ．
    （Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
    （Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=
    		3
    ，b=2    ，求△ABC的面积S．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•黄山模拟）已知函数f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
    x2
    1+x
    ．
    （Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；
    （Ⅱ）证明不等式ln2(1+x)≤
    x2
    1+x
    ；
    （Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列an=(1+
    1
    n
    )n+a    所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

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