Question

（2010•福建模拟）已知函数f(x)=sin2

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数y=g（x）（x＞0）的图象．若的图象与直线y=

1

2

交点的横坐标由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，求数列{x_n}的前2n项的和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据二倍角公式以及两角和的正弦公式对所给函数进行整理得到f（x）=sin（x-

π

6

）；再结合正弦函数的单调性以及整体代入思想即可求出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）先根据图象的平移规律得到函数y=g（x）（x＞0）的图象；再结合正弦曲线的对称性，周期性求出相邻两项的和及其规律，最后结合等差数列的求和公式即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin2

x

2

+

3

sin

x

2

cos

x

2

-

1

2

=

1-cosx

2

+

3

2

sinx-

1

2

=

3

2

sinx-

1

2

cosx
=sin（x-

π

6

）．
由2kπ≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，得2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

 （k∈Z）
所以f（x）的单调递增区间是[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]（k∈Z）
（Ⅱ）函数f（x）=sin（x-

π

6

）的图象向左平移

π

6

个单位后，得到函数y=sinx的图象，
即g（x）=sinx，
若函数g（x）=sinx（x＞0）的图象与直线y=

1

2

交点的横坐标由小到大依次是x₁，x₂，…，x_n，
则由正弦曲线的对称性，周期性得：

x1+x2

2

=

π

2

，

x3+x4

2

=2π+

π

2

，…，

x2n-1+x2n

2

=2（n-1）π+

π

2

，
所以x₁+x₂+…+x_2n-1+x_2n
=（x₁+x₂）+（x₃+x₄）+…+（x_2n-1+x_2n）
=π+5π+9π+…+（4n-3）π
=[n×1+

n(n-1)

2

×4]•π
=（2n²-n）π

点评：本题是对三角函数单调性，对称性，周期性以及公式的综合考查，解决问题的关键在于根据二倍角公式以及两角和的正弦公式对所给函数进行整理得到f（x）=sin（x-

π

6

）．