Question

如图

OM

=2

OA

，

ON

=2

OB

，若

OP

满足

OP

=x

ON

+y

OM

．
（1）若P在线段AB上，则x+y=

 

．
（2）若P在阴影部分内（含边界）则x+y的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：计算题,平面向量及应用

分析：（1）若P在线段AB上，设

BP

=λ

PA

，则有

OP

=

OB +λ OA

1+λ

，由于

OP

=x

ON

+y

OM

，

ON

=2

OB

，

OM

=2

OA

，
则有2x+2y=1，即可得到x+y；
（2）考虑两端，即P在线段AB上，则x+y=

1

2

，P落在线段MN上，则x+y=1．即可得到取值范围．

解答： 解：（1）若P在线段AB上，设

BP

=λ

PA

，
则有

OP

=

OB +λ OA

1+λ

，
由于

OP

=x

ON

+y

OM

，

ON

=2

OB

，

OM

=2

OA

，
则

OP

=2x

OB

+2y

OA

，
即有2x=

1

1+λ

，2y=

λ

1+λ

，
则有2x+2y=1，则x+y=

1

2

；
（2）若P在阴影部分内（含边界），
则若P在线段AB上，则x+y=

1

2

，
若P落在线段MN上，则x+y=1．
则P落在阴影内，则有

1

2

＜x+y＜1．
故x+y的取值范围是[

1

2

，1]，
故答案为：

1

2

，[

1

2

，1]．

点评：本题考查三角形法则，是一个基础题，向量是数形结合的最好的工具，在解题时注意发挥向量的优点．