Question

【题目】已知命题：“x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：命题：“x∈{x|﹣1≤x≤1}，都有不等式x2﹣x﹣m＜0成立”是真命题，

得x2﹣x﹣m＜0在﹣1≤x≤1恒成立，

∴m＞（x2﹣x）max

得m＞2

即B=（2，+∞）

（2）解：不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0

①当3a＞2+a，即a＞1时

解集A=（2+a，3a），

若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB，

∴2+a≥2此时a∈（1，+∞）．

②当3a=2+a即a=1时

解集A=φ，

若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB成立．

③当3a＜2+a，即a＜1时

解集A=（3a，2+a），若

x∈A是x∈B的充分不必要条件，则AB成立，

∴3a≥2此时 ．

综上①②③： ．

【解析】（1）分离出m，将不等式恒成立转化为函数的最值，求出（x2﹣x）max ， 求出m的范围．（2）通过对二次不等式对应的两个根大小的讨论，写出集合A，“x∈A是x∈B的充分不必要条件”即AB，求出a的范围．