Question

我们知道：若函数y=f(x)存在函数y=f^-1(x)，则原函数y=f(x)与其反函数y=f^-1(x)的图像关于直线y=x对称；若y=f(x)与y=f^-1(x)的图像有公共点，则某些公共点也未必在直线y=x上，例如：f(x)=.

(Ⅰ)已知y=f(x)为定义域上的增函数，且y=f(x)与y=f^-1(x)的图像有公共点，求证：y=f(x)与y=f^-1(x)的图像的公共点在直线y=x上；

(Ⅱ)设f(x)=a^x(a＞1),试讨论f(x)与f^-1(x)的图像的公共点的个数.

Answer 1

解：(Ⅰ)设M(x₀,y₀)为y=f(x)与y=f^-1(x)的图像的公共点则y₀=f(x₀)  (1)    y₀=f^-1(x₀)  (2)

由(2)有x₀=f(y₀)  (3) 

若x₀＜y₀,则由(1),(3)式有：f(y₀)＜f(x₀)又因为y=f(x)为增函数,则由f(y₀)＜f(x₀)有：y₀＜x₀,这与x₀＜y₀矛盾 

这说明x₀＜y₀不可能成立,同理可证y₀＜x₀也不可能成立所以x₀=y₀,即点M(x₀,y₀)在直线y=x上,也就是y=f(x)与y=f^-1(x)的图像的公共点在直线y=x上

(Ⅱ)由(Ⅰ)知：当y=f(x)为增函数时,若y=f(x)与y=f^-1(x)的图像有公共点,则这些公共点也即y=f(x)与y=x的公共点 

以下讨论y=a^x与y=x的公共点的个数：考虑函数g(x)=f(x)-x,即g(x)=a^x-x(a＞1)g′(x)=a^x·lna-1,令a^x·lna-1≥0有a^x≥=log_ae,即x≥log_a(log_ae)由此知当x∈(log_a(log_ae),+∞)时,g′(x)＞0当x∈(-∞,log_a(log_ae))时,g′(x)＜0所以g(x)_min=g(log_a(log_ae))=a^loga(logae)-log_a(log_ae)=log_ae-log_a(log_ae) 

①当log_ae-log_a(log_ae)＞0即lna＞也就是a＞时,g(x)_min＞0

所以f(x)=a^x与y=x的图像没有公共点,因而f(x)与f^-1(x)的图像没有公共点

②当log_ae-log_a(log_ae)=0即a=时,f(x)与f^-1(x)的图像有唯一公共点

③当log_ae-log_a(log_ae)＜0即1＜0＜时,f(x)与f^-1(x)的图像有两个公共点