Question

已知定义在R的函数f（x）对任意的x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＜0时，f（x）＜0．
（1）判断f（x）的单调性和奇偶性，并说明理由；
（2）若不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0对一切θ∈[0，

π

2

]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）判断函数的单调性，首先要结合定义域和所给区间任设两个变量并保证大小关系，然后通过f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）即可获得相应变量对应函数值的大小关系，结合函数单调性的定义即可获得问题的解答；赋值求出f（0）=0，再令x₁=-x，x₂=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）构造出f（-x）与f（x）的方程研究其间的关系，得出奇偶性，解答本题时注意做题格式，先判断后证明．
（2）此题考查的是函数与方程的综合应用类问题．在解答时，先结合存在性问题的特点先假设存在m符合题意，然后将问题转化为恒成立的问题结合二次函数的特点即可获得问题的解答．

解答：解：（1）令x=y=0，有f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x
有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）为奇函数
在R上任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，由题意知f（x₁-x₂）＜0
则f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＞0
故f（x）是增函数
（2）要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]+f(3+2m)＞0
只须f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

]＞-f(3+2m)=f(-3-2m)
又由f（x）为单调增函数有sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-

4

sinθ+cosθ

＞-3-2m
令t=sinθ+cosθ，则sin2θ=t²-1，∵θ∈[0，

π

2

]，∴t=

2

sin(θ+

π

4

)∈[1，

2

]
原命题等价于t2-1-(m+2)t-

4

t

+3+2m＞0对t∈[1，

2

]恒成立∴(2-t)m＞2t-t2+

4

t

-2，即m＞

t(2-t)+ 2 t (2-t)

2-t

=t+

2

t

令g(t)=t+

2

t

，g′(t)=1-

2

t2

，在t∈[1，

2

]时g′（t）＜0，故g（t）在[1，

2

]上为减函数，∴m＞3时，原命题成立．
法2：由t2-1-(m+2)t-

4

t

+3+2m＞0对t∈[1，

2

]恒成立
有（t²-mt+2）（t-2）＞0，∵t-2＜0，故t²-mt+2＜0在t∈[1，

2

]恒成立
只需

12-m+2＜0 ( 2 )2- 2 m+2＜0

⇒m＞3

点评：本题以抽象函数满足的性质为载体，考查函数的单调性证明问题．抽象函数的奇偶性的判定，以及赋值法的应用，属于中档题，在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法以及赋值法等知识．值得同学们体会和反思．