Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2，则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+2，两式作差变形可得数列{

an

2n

}是首项和公差均为1的等差数列，即可得出结论．

解答： 解：在S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2中，令n=1，可得S₁=2a₁-2²+2，即a₁=2
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+2，则a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，∴a_n=2a_n-1+2ⁿ，即

an

2n

=

an-1

2n-1

+1
∴数列{

an

2n

}是首项和公差均为1的等差数列
于是

an

2n

=1+（n-1）•1=n（n∈N^*），
从而a_n=2ⁿ•b_n=n•2ⁿ（n∈N^*）
故答案为：n•2ⁿ（n∈N^*）．

点评：本题主要考查数列的转化与变形求通项公式，确定数列{

an

2n

}是首项和公差均为1的等差数列是关键．