Question

已知双曲线-y²=1，过右焦点F₂做直线l与双曲线右支交于A、B两点，设左焦点为F₁，问△ABF₁的面积是否存在最值？若存在，请求出；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：如图所示，设过焦点F₂的直线AB的方程为x=ty+，代入-y²=1中，可得：

（t²-4）y²+2ty+1=0，因为y₁y₂＜0,所以＜0,即0≤t²＜4.

设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),则

|y₁-y₂|=,

令t²+1=s(1≤s＜5),

所以|y₁-y₂|=,

令f(s)=s+-10,s∈［1,5)，f(s)在［1，5）上单调递减.所以当s=1，即t=0时，f(s)_max=16,所以|y₁-y₂|_min=1，所以S=|F₁F₂||y₁-y₂|≥×2×1=.

综上，S有最小值为，无最大值.

点拨：根据函数的单调性求最值是一种常用的方法，注意正确判断函数的单调性.