Question

7．已知公比为q（0＜q＜1）的等比数列{a_n}中，a₂=2，前三项的和为7．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=a₁•a₂•…•a_n，求使0＜b_n＜1的正整数n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式及其性质即可得出；
（2）b_n=a₁•a₂•…•a_n=${2}^{\frac{n（5-n）}{2}}$．由0＜b_n＜1．利用指数的运算性质即可得出．

解答 解：（1）∵a₂=2，前三项的和为7．∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=2}\\{\frac{{a}_{2}}{q}+{a}_{2}+{a}_{2}q=7}\end{array}\right.$，化为2q²-5q+2=0，0＜q＜1，解得q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=${a}_{2}{q}^{n-2}$=$2×（\frac{1}{2}）^{n-2}$=2^3-n
（2）b_n=a₁•a₂•…•a_n=2^{2+1+…+（3-n）}=${2}^{\frac{n（5-n）}{2}}$．
由0＜${2}^{\frac{n（5-n）}{2}}$＜1．
可得$\frac{n（5-n）}{2}$＜0，
解得n＞5，
∴使0＜b_n＜1的正整数n的最小值为6．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质、指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．