Question

如图，在四棱锥中，底面，， ，   ，是的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求二面角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：见解析。（Ⅱ）证明：见解析。（Ⅲ）二面角的正切值是．

试题分析：（1）根据题目中的线面的垂直性质定理得到线线垂直的证明。
（2）利用上一问的结论和线面垂直的判定定理得到证明。
（3）结合三垂线定理作出二面角的平面角，然后借助于三角形来求解大小。
（Ⅰ）证明：在四棱锥中，因底面，平面，故．
，平面．
而平面，．…………………………………………（4分）
（Ⅱ）证明：由，，可得．
是的中点，．
由（Ⅰ）知，，且，所以平面．
而平面，．
底面在底面内的射影是，，．
又，综上得平面．………………………………（8分）
（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．
因此是二面角的平面角．
由已知，得．设，
可得．
在中，，，
则．
在中，．
所以二面角的正切值为．……………………………………（12分）
解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．
过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．
由已知，可得，设，
可得．
，．
于是，．
在中，．
所以二面角的正切值是．
（建立直角坐标系相应给分）
点评：解决该试题的关键是能合理的建立空间直角坐标系，表示出法向量以及直线的方向向量，借助于向量的知识来得到证明和求解，或者借助于线面的垂直的判定定理和性质定理得到结论。