Question

7．已知P，Q为椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$上的两点，满足PF₂⊥QF₂，其中F₁，F₂分别为左右焦点．
（1）求$|\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}|$的最小值；
（2）若$（\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}）⊥（\overrightarrow{Q{F_1}}+\overrightarrow{Q{F_2}}）$，设直线PQ的斜率为k，求k²的值．

Answer 1

分析 （1）通过$\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}=2\overrightarrow{PO}$（O为坐标原点），推出$|\overrightarrow{PO}{|_{min}}=1$，即可求$|\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}|$的最小值．
（2）利用OP⊥OQ．推出线段PQ中点的横坐标为$\frac{1}{2}$．设直线PQ的方程为y=kx+b，联立直线与椭圆方程组，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韦达定理，推出1+2k²=-4kb，①通过x₁x₂+y₁y₂=0，求出 4k²b²+2k³b-2k²+3b²+kb-2=0，②，然后求解即可．

解答 （本题满分15分）
解：（1）因为$\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}=2\overrightarrow{PO}$（O为坐标原点），
显然$|\overrightarrow{PO}{|_{min}}=1$，
所以$|\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}|$的最小值为2．                …（5分）
（2）由题意，可知OP⊥OQ．
又F₂P⊥F₂Q，所以PQ是两个直角三角形POQ和PF₂Q的公共斜边，即得线段PQ的中点到O，F₂两点的距离相等，即线段PQ中点的横坐标为$\frac{1}{2}$．
设直线PQ的方程为y=kx+b，联立椭圆方程，得
（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-$\frac{4kb}{{1+2{k^2}}}$．
又因为 x₁+x₂=1，
所以 1+2k²=-4kb，①
另一方面，x₁x₂=$\frac{{2{b^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，y₁y₂=$\frac{{2{k^2}{b^2}-2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+kb+{b^2}$．
由x₁x₂+y₁y₂=0，得$\frac{{2{b^2}-2}}{{1+2{k^2}}}+\frac{{2{k^2}{b^2}-2{k^2}}}{{1+2{k^2}}}+kb+{b^2}=0$，
即 4k²b²+2k³b-2k²+3b²+kb-2=0，②
由①②，得-20k⁴-20k²+3=0，解之得${k^2}=\frac{{-5+2\sqrt{10}}}{10}$．…（15分）

点评 本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，向量在几何中的应用，考查转化思想以及计算能力．