Question

已知椭圆C：的离心率等于，点P在椭圆上。
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右顶点分别为，过点的动直线与椭圆相交于两点，是否存在定直线：，使得与的交点总在直线上？若存在，求出一个满足条件的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，.

试题分析：（1）由，点代入椭圆方程，二者联立可以解出；（2）以的存在性分两种情况：①不存在，直线:,易证符合题意；②存在时，设直线:，用直线方程和椭圆方程联立方程组，消参得一元二次方程，利用韦达定理得，，又因为共线，有，由得，得出，由于成立，所以点在直线上，综上:存在定直线:,使得与的交点总在直线上,的值是.
试题解析：（1）由，               2分
又点在椭圆上，，              4分
所以椭圆方程是：；                       5分
（2）当垂直轴时，，则的方程是：，
的方程是：，交点的坐标是：，猜测:存在常数,
即直线的方程是:使得与的交点总在直线上,         6分
证明：设的方程是，点，
将的方程代入椭圆的方程得到：，
即：，                  7分
从而：，                 8分
因为：，共线
所以：，，                  9分
又，
要证明共线，即要证明，            10分
即证明：，
即：，
即：
因为：成立，       12分
所以点在直线上。
综上:存在定直线:,使得与的交点总在直线上,的值是.  13分