Question

符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]=3，[-1.08]=-2，定义函数{x}=x-[x]，给出下列四个命题
（1）函数{x}的定义域为R，值域为[0，1]；
（2）方程{x}=

1

2

有无数个解；
（3）函数{x}是周期函数；
（4）函数{x}是增函数．
其中正确命题的序号有（　　）

A．（2）（3）

B．（1）（4）

C．（3）（4）

D．（2）（4）

Answer 1

分析：利用[x]的定义，结合函数的定义域，值域周期性和单调性的定义分别进行判断．由周期函数的定义证明此函数为周期函数，使求出一个周期的上的值域，即为整个函数的值域，周期函数不是单调函数

解答：解：（1）当0≤x＜1时，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函数{x}的值域为[0，1），∴（1）错误．
（2）当x=

1

2

时，{x}=

1

2

，又∵函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴x=

1

2

+k时（k∈Z），{x}=

1

2

，∴（2）是正确的，
（3）∵函数{x}的定义域为R，又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，∴函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，∴（3）是正确的，
（4）∵函数{x}是周期为1的函数，∴函数{x}不是单调函数，∴（4）错误．
故选A．

点评：本题考查新定义函数 {x}=x-[x]的意义，通过举反例来说明某个命题的正确性，是一种简单有效的方法．