Question

15．若圆C：x²+y²=4，点P在直线l：2x-y-6=0上，过点P作圆C的切线PE，PF，切点为E，F，则$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$的最小值为$-\frac{16}{45}$．

Answer 1

分析 PC的最小值即为圆心C到直线直线2x-y-6=0的距离d，由此求得$|\overrightarrow{PE}|、|\overrightarrow{PF}|$的最小值．设∠CPE=∠CPF=α，则sinα=$\frac{R}{|PC|}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，由$\overrightarrow{PE}$$•\overrightarrow{PF}$=${\overrightarrow{PE}}^{2}$cos2α=${\overrightarrow{PE}}^{2}$（1-2sin²α），运算求得结果．

解答 解：由于PC的最小值即为圆心C到直线直线2x-y-6=0的距离d=$\frac{|-6|}{\sqrt{5}}=\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
此时，|$\overrightarrow{PE}$|=|$\overrightarrow{PF}$|=$\sqrt{（\frac{6\sqrt{5}}{5}）^{2}-4}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，设∠MPE=∠MPF=α，则sinα=$\frac{R}{|PC|}$=$\frac{2}{\frac{6\sqrt{5}}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴$（\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}）_{min}$=${\overrightarrow{PE}}^{2}$cos2α=${\overrightarrow{PE}}^{2}$（1-2sin²α）=$\frac{16}{5}$（1-2×$\frac{5}{9}$）=$-\frac{16}{45}$．
故答案为：$-\frac{16}{45}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，圆的切线性质，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．