Question

17．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面A₁ADD₁⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且∠ADC=$\frac{π}{2}$，AB∥CD．点E为棱D₁D上的一点（异于点D₁）．
（1）求证：C₁D₁∥平面ABE；
（2）求证：平面ABE⊥平面A₁ADD₁．

Answer 1

分析 （1）由C₁D₁∥AB，能证明C₁D₁∥平面ABE．
（2）由平面A₁ADD₁⊥平面ABCD，∠ADC=$\frac{π}{2}$，AB∥CD，得到AB⊥平面A₁ADD₁，由此能证明平面ABE⊥平面A₁ADD₁．

解答 证明：（1）四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵C₁D₁∥AB，且C₁D₁?平面ABE，AB?平面ABE，
∴C₁D₁∥平面ABE．
（2）∵平面A₁ADD₁⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，
且∠ADC=$\frac{π}{2}$，AB∥CD．点E为棱D₁D上的一点（异于点D₁）．
∴AB⊥AD，∴AB⊥平面A₁ADD₁，
∵AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面A₁ADD₁．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．