Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AB=AC=AA₁=1，AB⊥AC，点M、N分别是CC₁、BC的中点，动点P在线段A₁B₁上，且满足．
（1）求二面角M-AB-C的余弦值；
（2）求证：PN⊥AM恒成立；
（3）当λ=1时，线段AB上是否存在Q使得，若存在，求出点Q的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，∴A₁A⊥AB，
又∵AC⊥AB，AC∩AA₁=A，
∴AB⊥平面ACC₁A₁，
∴AB⊥AM，
∴∠MAC即为二面角M-AB-C的平面角．
∵AC=1，则CM=，∴AM==．
∴=．
（2）取AC的中点K，连接NK、A₁K．则NK∥AB．
由（1）可知：NK⊥平面ACC₁A₁．
∴NK⊥AM．
在正方形ACC₁A₁中，由△A₁AK≌△ACM，可得∠MAC=∠KA₁A，
∴，即AM⊥A₁K．
又NK∩A₁K=K，
∴AM⊥A₁PNK．
∴PN⊥AM．
（3）当λ=1时，假设线段AB上存在Q使得?点M到底面ANP的距离=2点Q到底面ANP的距离．下面通过建立空间直角坐标系来证明．
建立如图所示的坐标系．
则A（0，0，0），P，，M．
，，．
设Q（0，k，0），则-1≤k≤0，．
设平面ANP的法向量为=（x，y，z）．
则即，令z=1，则x=y=2，
∴．
∴，得，解得，不满足条件-1≤k≤0，因此线段AB上不存在Q使得．
分析：（1）利用线面垂直的判定和性质定理及二面角的定义即可得出；
（2）利用正方形的性质、三角形全等、线面垂直的判定和性质即可证明；
（3）通过结论空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式即可得出．
点评：熟练掌握线面垂直的判定和性质定理及二面角的定义、正方形的性质、三角形全等、三棱锥的条件计算公式、点到直线的距离公式是解题的关键．