Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，BB=

2

（1）求证：BD₁⊥AC；
（2）求点C₁到平面AB₁C的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正方形的性质、线面垂直的判定和性质定理即可得出；
（Ⅱ）利用“等积变形”即可求出．

解答：（Ⅰ）证明：连接DB，由长方体知DD₁⊥面ABCD，
∴AC⊥DD₁，
又ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
又DD₁∩BD=D，
∴AC⊥面DD₁B，BD₁?面DDB₁，
∴BD₁⊥AC．
（Ⅱ）设点C₁到面AB₁C的距离为h．
由VC1-AB1C=VA-B1C1C得

1

3

S△AB1C•h=

1

3

S△B1C1C•AB，
设AC与BD的交点为O，连接B₁O，则AC⊥OB₁．
∵B1A=B1C=

22+( 2 )2

=

6

，AC=2

2

，∴OB1=

( 6 )2-( 2 )2

=2．
∴S△AB1C=

1

2

×2

2

×2=2

2

．
而S△B1C1C=

1

2

×2×

2

=

2

，
∴h=

S△B1C1C•AB

S△AB1C

=

2 ×2

2 2

=1．

点评：熟练掌握正方形的性质、线面垂直的判定和性质定理、“等积变形”、等腰三角形的性质是解题的关键．