Question

设f(x)＝x＋ax²＋bln x，曲线y＝f(x)过点
P(1,0)，且在P点处的切线的斜率为2.
①求a，b的值；
②证明：f(x)≤2x－2.

Answer 1

①a＝－1，b＝3.②见解析

① f′(x)＝1＋2ax＋.
由题意知即，
解得a＝－1，b＝3.
②由①知f(x)＝x－x²＋3ln x.
f(x)的定义域为(0，＋∞)．
设g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x²＋3ln x，
则g′(x)＝－1－2x＋＝－.?
由g′(x)>0知0<x<1，
由g′(x)<0知x>1.
所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减．
所以g(x)在(0，＋∞)上的最大值为g(1)＝0，
所以g(x)≤0，即f(x)≤2x－2.