Question

7．如图，四棱锥P-ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；
（Ⅱ）若AD=CD=2，求点P到平面ADE的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，推导出四边形CDEF为平行四边形，从而DF∥CE，由此能证明平面PAB⊥平面CDE，
（Ⅱ）利用等体积求点点P到平面ADE的距离．

解答 证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，
∵E是PB中点，∴EF∥AB，EF=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD∥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD∥EF，CD=EF
∴四边形CDEF为平行四边形，
∴DF∥CE，
又△PAD 为正三角形，
∴PA⊥DF，从而PA⊥CE，
又PA⊥CD，CD∩CE=C，
∴PA⊥平面CDE，
又PA?平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE．
解：（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，
∴CD⊥AD，
又PA⊥CD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
又（Ⅰ）知，CD∥EF，
∴EF⊥平面PAD，
∴EF为三棱锥的E-PAD的高，且EF=CD=2，
易得△PAD的面积S_△PAD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$，
在Rt△PAB中，PB=2$\sqrt{5}$，AE=$\frac{1}{2}$PB=$\sqrt{5}$，
在矩形CDEF中，CD=2，CE=DF=$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{7}$，
在△ADE中，AE=$\sqrt{5}$，DE=$\sqrt{7}$，AD=2，
由平面几何知识可得AD边上的高EH=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
∴△ADE的面积S_△ADE=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{19}}{2}$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
设点P到平面ADE的距离为d，由V_P-ADE=V_E-PAD得
$\frac{1}{3}$×$\sqrt{3}$×2=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{19}}{2}$d，
解得d=$\frac{4\sqrt{57}}{19}$
∴点P到平面ADE的距离为$\frac{4\sqrt{57}}{19}$

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题．