Question

给出下列命题：
①函数y=sin(

5π

2

-2x)（x∈R）是偶函数；
②函数f(x)=cos2x-

1

2

（x∈R）的周期为π；
③函数y=sin(x+

π

4

)在闭区间[-

π

2

，

π

2

]上是增函数；
④将函数y=cos(2x-

π

3

)（x∈R）的图象向左平移

π

3

个单位，得到函数y=cos2x的图象．
其中正确的命题的序号是：

①②

．

Answer 1

分析：①利用诱导公式将函数解析式化简后容易判断奇偶性
②利用二倍角余弦公式，将函数解析式降次后，容易求出最小正周期
③将x+

π

4

看作整体，换元后考察y=sint在t∈[-

π

4

，

3π

4

] 的单调性即可．
④利用三角函数图象变化规律，求出向左平移后函数解析式，判断正误．

解答：解：①函数y=sin(

5π

2

-2x)=sin[2π+(

π

2

-2x)]=sin(

π

2

-2x)=cos2x．且 cos（-2x）=cos2x（x∈R），f（x）是偶函数．①正确
②f(x)=cos2x-

1

2

=

1+cos2x

2

-

1

2

=

1

2

cos2x．最小正周期为T=

2π

2

=π．②正确
③令t=x+

π

4

，x∈[-

π

2

，

π

2

]，则y=sint，t∈[-

π

4

，

3π

4

]，由正弦函数的单调性知y=sint在t∈[-

π

4

，

3π

4

]不为增函数，
所以函数y=sin(x+

π

4

)在闭区间[-

π

2

，

π

2

]上不为增函数．③错误．
 ④将函数y=cos(2x-

π

3

)（x∈R）的图象向左平移

π

3

个单位，得到函数 y=cos[2(x+

π

3

)-

π

3

]=cos(2x+

π

3

)的图象，不为函数y=cos2x的图象  ④错误．
故答案为：①②

点评：本题考查三角函数图象变换规律，三角函数图象、性质．考查三角函数式恒等变形能力．本题易错点在于④，平移变换是针对单个x而言，指的是x的变化数量．要将x的系数提出后再进行左加右减的相位变换．