Question

已知函数f（x）=Asin（3x+φ） （ A＞0，x∈（-∞，+∞），0＜φ＜π ） 在x=时取得最大值4．
（1）求函数f（x）的最小正周期及解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）求函数f（x）在上的值域．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=Asin（3x+φ），故函数的最小正周期为T=．
由函数的最大值为4可得A=4，
由函数在x=时取得最大值4可得 4sin（3×+φ）=4，故 +φ=2kπ+，k∈z．
结合0＜φ＜π，可得 φ=．
综上，函数f（x）=4sin（3x+）．
（2）令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得≤-≤x≤+，
故函数f（x）的单调增区间为[-，+]，k∈z．
（3）∵x∈，∴3x+∈[，]，∴sin（3x+）∈[-，1]，
故4sin（3x+）∈[-2，4]．
故函数f（x）在上的值域为[-2，4]．
分析：（1）根据y=Asin（ωx+∅）的最小正周期的求法求得此函数的最小正周期．由函数的最大值求A，根据函数在x=时取得最大值4，求得φ，从而得到函数的解析式．
（2）令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可到函数f（x）的单调增区间．
（3）根据x∈，结合正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在上的值域．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的最小正周期、单调性、定义域和值域，属于中档题．