Question

11．在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足2bcosB=acosC+ccosA，若b=$\sqrt{3}$，则a+c的最大值为（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． 3
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 9

Answer 1

分析 利用正弦定理化边为角，可求导cosB，由此可得B，由余弦定理可得：3=a²+c²-ac，由基本不等式可得：ac≤3，代入：3=（a+c）²-3ac可得a+c的最大值．

解答 解：2bcosB=ccosA+acosC，
由正弦定理，得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，
∴2sinBcosB=sinB，
又sinB≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=$\frac{π}{3}$．
∵由余弦定理可得：3=a²+c²-ac，
∴可得：3≥2ac-ac=ac，
∴即有：ac≤3，代入：3=（a+c）²-3ac可得：（a+c）²=3+3ac≤12，
∴a+c的最大值为2$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，基本不等式的应用，考查学生运用知识解决问题的能力，属于中档题．