Question

已知f（x）=-x+log₂

1-x

1+x

．
（1）求f（x）的定义域；
（2）求f（-

1

2012

）+f（

1

2012

）；
（3）当x∈（-a，a]（其中a∈（-1，1）且a为常数）时f（x）是否存在最小值？如果存在，求出最小值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数的定义域及其求法,函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由

1-x

1+x

＞0，求出x的范围，可得函数的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义，可证出f（x）是定义在（-1，1）的奇函数，由此可得f（-

1

2012

）+f（-

1

2012

）的值等于0；
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，利用作差、因式分解、判断符号的方法，证出f（x）为（-1，1）上的减函数．因此，当a∈（0，1），且a为常数时，f（x）在区间（-a，a]的最小值为f（a）=-a+log₂

1-a

1+a

．

解答： 解：（1）由

1-x

1+x

＞0，得-1＜x＜1，
可得函数的定义域为（-1，1）
（2）∵f（-x）=-（-x）+log₂

1+x

1-x

=x-log₂

1-x

1+x

=-f（x）
∴f（x）是定义在（-1，1）的奇函数
因此，f（-

1

2012

）=-f（

1

2012

），
可得f（-

1

2012

）+f（

1

2012

）=0；
（3）设-1＜x₁＜x₂＜1，
∵f（x₁）-f（x₂）=-x₁+log₂

1-x1

1+x1

-（-x₂+log₂

1-x2

1+x2

）=（x₂-x₁）+log₂

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

且x₂-x₁＞0，

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1
∴log₂

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0，可得f（x₁）-f（x₂）＞0，得f（x₁）＞f（x₂）
由此可得f（x）为（-1，1）上的减函数，
∴当x∈（-a，a]（其中a∈（0，1），且a为常数）时，函数有最小值为f（a）=-a+log₂

1-a

1+a

点评：本题给出含有对数符号的基本初等函数，求特殊的函数值并讨论函数在区间（-a，a]上的最小值，着重考查了函数的奇偶性、单调性及其应用的知识点，属于中档题．