Question

已知数列{a_n}中，a_n＞0，a₁=2，a₄=16，且有a_n²=a_n-1a_n+1
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=log₂a_n，c_n=

1

bnbn+1

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用已知条件判断数列是等比数列，求出公比，然后求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用b_n=log₂a_n，求出通项公式，化简c_n=

1

bnbn+1

，利用裂项法求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答： （本小题12分）
解：（1）由

a

2 n

=an-1an+1得数列{a_n}为等比数列，则a4=a1q3
∵a₁=2，a₄=16∴16=2q³得q=2…（4分）
故数列{a_n}的通项公式为

a

n

=2n…（6分）
（2）由bn=log2an=log22n=n，得cn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（9分）
则Tn=c1+c2+…+cn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

…（12分）

点评：本题考查数列的求和裂项法的应用，等比数列的判断对数的运算性质，考查计算能力．