Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

2

，椭圆C的上、下顶点分别为A₁，A₂，左、右顶点分别为B₁，B₂，左、右焦点分别为F₁，F₂．原点到直线A₂B₂的距离为

2 5

5

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点且斜率为

1

2

的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF₂F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；
（3）P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点，直线PA₁，PA₂，分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析：（1）由已知中椭圆的离心率，可设a=2m，c=

3

m，结合原点到直线A₂B₂的距离为

2 5

5

，求出m值，进而得到a，b的值，可得椭圆C的方程；
（2）联立直线l与椭圆的方程，进而求出E，F点，利用向量法可求出∠EF₂F是锐角；
（3）设P（x₀，y₀），求出直线PA₁，PA₂的方程，
解法一：设圆G的圆心为（

1

2

（

x0

y0+1

-

x0

y0-1

），h），根据圆心到切线的距离等于半径，可求出OT的长为定值2
解法二：根据OM•ON=|（-

x0

y0-1

）•

x0

y0+1

|=

x 2 0

1- y 2 0

，

x 2 0

4

+y₀²=1，结合切割线定理得OT的长为定值2．

解答：解：（1）因为椭圆C的离心率e=

3

2

，
故设a=2m，c=

3

m，则b=m．
直线A₂B₂方程为 bx-ay-ab=0，
即mx-2my-2m²=0．
所以 

2m2

m2+4m2

=

2 5

5

，解得m=1．
所以 a=2，b=1，椭圆方程为

x2

4

+y²=1．               
（2）由

x2

4

+y²=1及y=

1

2

x得：
x=±

2

，则E（

2

，

2

2

），F（-

2

，-

2

2

），
又∵椭圆

x2

4

+y²=1的右焦点F₂的坐标为（

3

，0）
∴

F2E

=（

2

-

3

，

2

2

），

F2F

=（-

2

-

3

，-

2

2

），
∴

F2E

•

F2F

=（

2

-

3

）×（-

2

-

3

）+

2

2

×（-

2

2

）=

1

2

＞0，
∴∠EF₂F是锐角
（3）由（1）可知A₁（0，1）A₂（0，-1），设P（x₀，y₀），
直线PA₁：y-1=

y0-1

x0

x，令y=0，得x_N=

x0

y0-1

；
直线PA₂：y+1=

y0+1

x0

x，令y=0，得x_M=

x0

y0+1

；
解法一：设圆G的圆心为（

1

2

（

x0

y0+1

-

x0

y0-1

），h），
则r²=[

1

2

（

x0

y0+1

-

x0

y0-1

）-

x0

y0+1

]²+h²=

1

4

（

x0

y0+1

+

x0

y0-1

）²+h²．
OG²=

1

4

（

x0

y0+1

-

x0

y0-1

）²+h²．
OT²=OG²-r²=

1

4

（

x0

y0+1

-

x0

y0-1

）²+h²-

1

4

（

x0

y0+1

+

x0

y0-1

）²-h²=

x 2 0

1- y 2 0

．
而

x 2 0

4

+y₀²=1，所以x₀²=4（1-y₀²），所以OT²=4，
所以OT=2，即线段OT的长度为定值2．…（16分）
解法二：OM•ON=|（-

x0

y0-1

）•

x0

y0+1

|=

x 2 0

1- y 2 0

，
而

x 2 0

4

+y₀²=1，所以x₀²=4（1-y₀²），所以OM•ON=4．
由切割线定理得OT²=OM•ON=4．
所以OT=2，即线段OT的长度为定值2．…（16分）

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是解析几何的综合应用，难度较大，属于难题．