Question

已知B、C是两个定点，|BC|=8，且△ABC的周长等于18．设顶点A的轨迹为曲线M．
（1）求曲线M的方程；
（2）设O为BC的中点，直线AB与曲线M的另一个交点为D，求△OAD面积的最大值．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知利用椭圆的定义可知点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c=8，2a=10，即c=4，a=5，由此能求出点A的轨迹方程．
（2）当直线AD的斜率不存在时，S_△AOD=

36

5

；当直线AD的斜率存在时，设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直线AD的方程为y=k（x+4），由

x2 25 + y2 9 =1 y=k(x+4)

，得：（25k²+9）x²+200k²x+400k²-225=0，由此利用韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式能求出△OAD面积的最大值．

解答： 解：（1）由已知得|AB|+|AC|=10，
由椭圆的定义可知点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且2c=8，2a=10，即c=4，a=5，
所以b²=a²-c²=9．
如图建立直角坐标系，以BC所在直线为x轴，BC中点为坐标原点．
当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C不能构成三角形．
因此，点A的轨迹方程是

x2

25

+

y2

9

=1（y≠0）．
（2）①当直线AD的斜率不存在时，由已知得|AD|=

18

5

，点O到直线AD的距离d=4，所以S_△AOD=

36

5

；
②当直线AD的斜率存在时，设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），直线AD的方程为y=k（x+4），
则由

x2 25 + y2 9 =1 y=k(x+4)

，得：（25k²+9）x²+200k²x+400k²-225=0
所以x₁+x₂=-

200k2

25k2+9

，x₁x₂=

400k2-225

25k2+9

，
于是|AD|=|x₁-x₂|

1+k2

=

(x1+x2)2-4x1x2

•

1+k2

=

( 200k2 25k2+9 )2-4• 400k2-225 25k2+9

×

1+k2

=

8100(k2+1) (25k2+9)2

×

1+k2

=

90(k2+1)

25k2+9

，
又点O到直线AD的距离d=

4|k|

1+k2

，
所以S_△AOD=

1

2

|AD|d=180•

|k| 1+k2

25k2+9

，
令

1

k

=t，则S_△AOD=180•

|k| 1+k2

25k2+9

=180•

t2+1

9t2+25

=20•

t2+1

t2+1+ 16 9

=

20

t2+1 + 16 9 t2+1

≤

20

2 16 9

=

15

2

当

t2+1

=

16 9

t2+1

，即t2=

7

9

时取等号．此时，k=±

3

7

．
由

15

2

＞

36

5

知，S_△AOD的最大值为

15

2

．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．